Macaulay vs. Duración modificada

Comprender el concepto de duración y la sensibilidad del precio de un activo de renta fija frente a cambios en las tasas de interés puede abordarse de varias maneras. La duración de Macaulay calcula el plazo medio ponderado hasta el vencimiento de los flujos de efectivo de un bono. Es comúnmente utilizada por gestores de cartera que adoptan una estrategia de inmunización. Por otro lado, la duración modificada de un bono es una versión ajustada de la duración de Macaulay que ayuda a calcular los cambios en la duración y el precio de un bono por cada variación porcentual en el rendimiento hasta el vencimiento.

Conceptos básicos

Las duraciones de los bonos, como la de Macaulay y la modificada, desempeñan un papel fundamental en el análisis de bonos. La duración de Macaulay determina el tiempo medio ponderado hasta que un tenedor del bono recibe los flujos de efectivo del mismo. Por el contrario, la duración modificada mide la sensibilidad del precio de un bono ante cambios en el rendimiento hasta el vencimiento.

Valoración del bono y análisis de flujos de efectivo

En las valoraciones financieras, la duración de Macaulay sirve como una métrica clave. Para calcularla, multiplique el periodo temporal por el pago periódico del cupón y divida el resultado por 1 más el rendimiento periódico, elevado al tiempo hasta el vencimiento. Este proceso se aplica de forma iterativa para cada periodo, y los valores se suman. El resultado se añade al número total de periodos multiplicado por el valor nominal, dividido por 1 más el rendimiento periódico elevado al número total de periodos. Finalmente, el resultado se divide por el precio actual del bono.

donde:

• C=pago periódico del cupón
• y=rendimiento periódico
• M=valor de vencimiento del bono
• n=duración del bono en períodos

Por otra parte, el precio de un bono se determina multiplicando el flujo de efectivo por el factor de descuento, donde este último se calcula como 1 dividido por (1 más el rendimiento hasta el vencimiento) elevado al número de periodos. El valor resultante se suma al valor nominal del bono, dividido por 1 más el rendimiento hasta el vencimiento elevado al número total de periodos.

Por ejemplo, considere un bono a tres años con un valor de vencimiento de $1,000 y una tasa de cupón del 6% con pagos semestrales. Los flujos de efectivo durante los próximos tres años son los siguientes:

• Periodo 1: $30
• Periodo 2: $30
• Periodo 3: $30
• Periodo 4: $30
• Periodo 5: $30
• Periodo 6: $1,030

Con los periodos y flujos conocidos, calcule los factores de descuento para cada periodo usando la fórmula 1 ÷ (1 + r)^n, donde r es la tasa de interés (6% compuesta semestralmente). Los factores de descuento son los siguientes:

Factor de descuento Periodo 1: 1÷(1+.03)^1 = 0.9709
Factor de descuento Periodo 2: 1÷(1+.03)^2 = 0.9426
Factor de descuento Periodo 3: 1÷(1+.03)^3 = 0.9151
Factor de descuento Periodo 4: 1÷(1+.03)^4 = 0.8885
Factor de descuento Periodo 5: 1÷(1+.03)^5 = 0.8626
Factor de descuento Periodo 6: 1÷(1+.03)^6 = 0.8375

A continuación, encuentre el valor presente del flujo de caja de cada periodo multiplicándolo por el número de periodo y el factor de descuento correspondiente.

Periodo 1: 1×$30×0.9709 = $29.13
Periodo 2: 2×$30×0.9426 = $56.56
Periodo 3: 3×$30×0.9151 = $82.36
Periodo 4: 4×$30×0.8885 = $106.62
Periodo 5: 5×$30×0.8626 = $129.39
Periodo 6: 6×$1,030×0.8375 = $5,175.65
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​

(Tenga en cuenta que, dado que la tasa de cupón y la tasa de interés son iguales, el bono cotizará a la par.)

Observe que este cálculo de duración corresponde a 5.58 semestres, ya que el bono paga de forma semestral. Por lo tanto, la duración anual del bono es de 2.79 años, inferior a sus tres años de vencimiento.

Duración modificada y sensibilidad del precio

donde:

• YTM = rendimiento hasta el vencimiento
• n = número de periodos de cupón por año​

En finanzas, la duración modificada, una métrica ajustada derivada de la duración de Macaulay, aborda el impacto de las variaciones en los rendimientos hasta el vencimiento. La fórmula de la duración modificada consiste en dividir la duración de Macaulay por 1 más el rendimiento hasta el vencimiento, adicionalmente dividido por el número de periodos de cupón por año. Esta métrica cuantifica los cambios en la duración y el precio de un bono en respuesta a cada variación porcentual en el rendimiento hasta el vencimiento.

Por ejemplo, aquí está nuestro bono del ejemplo anterior, al que se le calculó una duración de Macaulay de 5.58 semestres. La duración modificada para este bono sería:

Posteriormente, para determinar el cambio porcentual en el precio del bono por un desplazamiento en las tasas de interés de 8% a 9%, utilice la fórmula: cambio en el rendimiento multiplicado por la duración modificada negativa multiplicada por 100%. El cambio porcentual calculado es -2.71%. Por lo tanto, se espera que un aumento repentino del 1% en las tasas de interés provoque una caída del 2.71% en el precio del bono.

Análisis de duración en swaps de tipos de interés

Ampliando la aplicación de la duración modificada, puede emplearse para determinar el periodo necesario para que un swap de tipos de interés recupere su coste inicial. Un swap de tipos de interés implica el intercambio de un conjunto de flujos de efectivo por otro, basado en términos de tasas de interés predefinidos entre las partes involucradas.

En este contexto, el cómputo de la duración modificada consiste en dividir el valor en dólares de un cambio de un punto básico en una pata del swap de tipos por el valor presente de la serie de flujos de efectivo correspondiente. El valor resultante se multiplica por 10,000. Alternativamente, la duración modificada para cada serie de flujos de efectivo puede derivarse dividiendo el valor en dólares de un cambio de un punto básico en la serie por la suma del notional y los valores de mercado. Esta fracción se multiplica por 10,000.

Para determinar la duración modificada global del swap de tipos de interés, es imprescindible calcular la duración modificada de ambas patas. La diferencia entre las dos duraciones modificadas produce la duración modificada de todo el swap. La duración modificada de la pata receptora menos la de la pata pagadora determina esta duración del swap de tipos de interés.

Como ilustración, considere un escenario en el que el Banco A y el Banco B celebran un swap de tipos de interés. Suponiendo que la duración modificada de la pata receptora sea de nueve años y la de la pata pagadora sea de cinco años, la duración modificada resultante para el swap de tipos de interés es de cuatro años (9 años – 5 años).

Análisis de las duraciones de bonos

Examinar las duraciones de los bonos revela diferencias significativas en sus aplicaciones. La duración de Macaulay, que mide el tiempo medio para que un inversor alinee el valor presente de los flujos de efectivo de un bono con su coste de compra, resulta vital para los gestores de bonos que emplean estrategias de inmunización para controlar el riesgo de la cartera.

Por otro lado, la duración modificada describe la sensibilidad de la duración de un bono ante cambios en el rendimiento, ofreciendo una visión sobre el impacto de las fluctuaciones de las tasas de interés en los precios de los bonos. Efectivamente, sirve como una métrica de riesgo para los inversores en bonos, estimando las posibles caídas de precio ante aumentos en las tasas de interés. Es crucial reconocer la relación inversa entre los precios de los bonos y las tasas de interés.

Conclusión

Comprender las duraciones de bonos, ya sea la de Macaulay o la modificada, ofrece ideas esenciales para la toma de decisiones financieras. La duración de Macaulay orienta a los gestores de cartera en la gestión del riesgo, indicando el tiempo medio para alinear los flujos de efectivo con el coste del bono. Mientras tanto, la duración modificada actúa como una métrica crítica de riesgo, revelando la sensibilidad de un bono ante cambios en el rendimiento. Esta interacción entre las duraciones y las tasas de interés subraya los factores matizados que influyen en los precios de los bonos, requiriendo una consideración cuidadosa en las estrategias financieras.