Macaulay vs. Durations modifiées

Comprendre le concept de durée et la sensibilité du prix d'un actif à revenu fixe aux variations des taux d'intérêt peut se faire de plusieurs façons. La durée de Macaulay calcule la durée moyenne pondérée jusqu'à l'échéance des flux de trésorerie d'une obligation. Elle est couramment utilisée par les gestionnaires de portefeuille qui adoptent une stratégie d'immunisation. En revanche, la durée modifiée d'une obligation est une version ajustée de la durée de Macaulay qui permet de calculer les variations de la duration et du prix d'une obligation pour chaque variation en pourcentage du rendement à l'échéance.

Notions de base

Les durées obligataires, telles que la durée de Macaulay et la durée modifiée, jouent un rôle central dans l'analyse obligataire. La durée de Macaulay détermine le temps moyen pondéré avant que le porteur de l'obligation ne reçoive les flux de trésorerie. À l'inverse, la durée modifiée mesure la sensibilité du prix d'une obligation aux variations du rendement à l'échéance.

Évaluation obligataire et analyse des flux de trésorerie

Dans les évaluations financières, la durée de Macaulay sert de métrique clé. Pour la calculer, multipliez la période de temps par le paiement périodique du coupon et divisez le résultat par 1 plus le rendement périodique, élevé à la puissance correspondant au temps jusqu'à l'échéance. Ce processus est appliqué de manière itérative pour chaque période, et les valeurs sont additionnées. Le résultat est ensuite augmenté du nombre total de périodes multiplié par la valeur nominale, divisé par 1 plus le rendement périodique élevé au nombre total de périodes. Enfin, le tout est divisé par le prix actuel de l'obligation.

où :

• C=periodic coupon payment
• y=periodic yield
• M=the bond’s maturity value
• n=duration of bond in periods

D'autre part, le prix d'une obligation est déterminé en multipliant le flux de trésorerie par le facteur d'actualisation, lequel se calcule comme 1 divisé par (1 plus le rendement à l'échéance) élevé au nombre de périodes. La valeur obtenue est ensuite ajoutée à la valeur nominale de l'obligation, divisée par 1 plus le rendement à l'échéance élevé au nombre total de périodes.

Par exemple, considérez une obligation de trois ans avec une valeur à l'échéance de $1,000 et un taux de coupon semi-annuel de 6 %. Les flux de trésorerie sur les trois prochaines années sont les suivants :

• Période 1 : $30
• Période 2 : $30
• Période 3 : $30
• Période 4 : $30
• Période 5 : $30
• Période 6 : $1,030

Avec les périodes et flux connus, calculez les facteurs d'actualisation pour chaque période en utilisant la formule 1 ÷ (1 + r)^n, où r est le taux d'intérêt (6 % composé semi-annuellement). Les facteurs d'actualisation sont les suivants :

Facteur d'actualisation Période 1 : 1÷(1+.03)^1 = 0.9709
Facteur d'actualisation Période 2 : 1÷(1+.03)^2 = 0.9426
Facteur d'actualisation Période 3 : 1÷(1+.03)^3 = 0.9151
Facteur d'actualisation Période 4 : 1÷(1+.03)^4 = 0.8885
Facteur d'actualisation Période 5 : 1÷(1+.03)^5 = 0.8626
Facteur d'actualisation Période 6 : 1÷(1+.03)^6 = 0.8375

Ensuite, trouvez la valeur actuelle du flux de trésorerie de chaque période en le multipliant par le numéro de période et par le facteur d'actualisation correspondant.

Période 1 : 1×$30×0.9709 = $29.13
Période 2 : 2×$30×0.9426 = $56.56
Période 3 : 3×$30×0.9151 = $82.36
Période 4 : 4×$30×0.8885 = $106.62
Période 5 : 5×$30×0.8626 = $129.39
Période 6 : 6×$1,030×0.8375 = $5,175.65
​

​

(Notez que puisque le taux du coupon et le taux d'intérêt sont identiques, l'obligation se négociera à sa valeur nominale.)

Remarquez que ce calcul de durée correspond à 5,58 demi-années, étant donné que l'obligation paie semi-annuellement. Ainsi, la durée annuelle de l'obligation est de 2,79 années, inférieure à sa maturité de trois ans.

Durée modifiée et sensibilité du prix

où :

• YTM = Yield to maturity
• n = Number of coupon periods per year​

En finance, la durée modifiée, métrique ajustée dérivée de la durée de Macaulay, prend en compte l'impact des variations du rendement à l'échéance. La formule de la durée modifiée consiste à diviser la durée de Macaulay par 1 plus le rendement à l'échéance, le tout divisé par le nombre de périodes de coupon par an. Cette métrique quantifie les variations de la duration et du prix d'une obligation en réponse à chaque variation en pourcentage du rendement à l'échéance.

Par exemple, pour notre obligation de l'exemple ci-dessus, dont la durée de Macaulay a été calculée à 5,58 demi-années, la durée modifiée serait :

Ensuite, pour déterminer la variation en pourcentage du prix de l'obligation pour un déplacement des taux d'intérêt de 8 % à 9 %, utilisez la formule : variation du rendement multipliée par la durée modifiée négative multipliée par 100 %. Le changement en pourcentage calculé est de -2,71 %. Ainsi, une hausse soudaine de 1 % des taux d'intérêt devrait entraîner une baisse de 2,71 % du prix de l'obligation.

Analyse de la durée dans un swap de taux d'intérêt

En étendant l'application de la durée modifiée, on peut l'employer pour déterminer la période nécessaire à un swap de taux d'intérêt pour récupérer son coût initial. Un swap de taux d'intérêt consiste à échanger un ensemble de flux de trésorerie contre un autre, sur la base de conditions de taux prédéfinies entre les parties concernées.

Dans ce contexte, le calcul de la durée modifiée consiste à diviser la valeur en dollars d'un changement d'un point de base sur une jambe du swap par la valeur actuelle de la série de flux de trésorerie correspondante. La valeur résultante est ensuite multipliée par 10 000. Alternativement, la durée modifiée pour chaque série de flux peut être dérivée en divisant la valeur en dollars d'un changement d'un point de base dans la série par la somme des valeurs notionnelles et de marché. Cette fraction est ensuite multipliée par 10 000.

Pour obtenir la durée modifiée globale du swap de taux d'intérêt, il est impératif de calculer la durée modifiée pour les deux jambes. L'écart entre les deux durées modifiées donne la durée modifiée de l'ensemble du swap. La durée modifiée de la jambe receveuse moins celle de la jambe payeuse détermine cette durée du swap de taux d'intérêt.

À titre d'illustration, considérez un scénario où la Banque A et la Banque B concluent un swap de taux d'intérêt. En supposant que la durée modifiée de la jambe receveuse soit de neuf ans et celle de la jambe payeuse de cinq ans, la durée modifiée du swap de taux d'intérêt est de quatre ans (9 ans – 5 ans).

Analyse des durées obligataires

L'examen des durées obligataires révèle des distinctions importantes dans leurs applications. La durée de Macaulay, qui mesure le temps moyen pour qu'un investisseur aligne la valeur actuelle des flux de trésorerie d'une obligation sur son coût d'achat, est essentielle pour les gestionnaires d'obligations qui utilisent des stratégies d'immunisation pour contrôler le risque du portefeuille.

En revanche, la durée modifiée décrit la sensibilité de la duration d'une obligation aux variations du rendement, offrant un aperçu de l'impact des fluctuations des taux d'intérêt sur les prix des obligations. En pratique, elle sert de métrique de risque pour les investisseurs obligataires, estimant les baisses potentielles de prix en réponse à la hausse des taux d'intérêt. Il est crucial de reconnaître la relation inverse entre les prix des obligations et les taux d'intérêt.

Conclusion

Comprendre les durées obligataires, qu'il s'agisse de la durée de Macaulay ou de la durée modifiée, offre des informations essentielles pour les décisions financières. La durée de Macaulay guide les gestionnaires de portefeuille dans la gestion du risque en indiquant le temps moyen pour aligner les flux de trésorerie avec le coût de l'obligation. Pendant ce temps, la durée modifiée constitue un indicateur de risque crucial, révélant la sensibilité d'une obligation aux variations de rendement. Cette interaction entre durées et taux d'intérêt souligne les facteurs nuancés qui influencent les prix obligataires, nécessitant une considération attentive dans les stratégies financières.