Macaulay vs Durata Modificata

Comprendere il concetto di duration e la sensibilità del prezzo di un'attività a reddito fisso alle variazioni dei tassi d'interesse può essere affrontato in diversi modi. La duration di Macaulay calcola la media ponderata del tempo alla scadenza dei flussi di cassa di un'obbligazione. È comunemente utilizzata dai gestori di portafoglio che adottano una strategia di immunizzazione. D'altro canto, la duration modificata di un'obbligazione è una versione aggiustata della duration di Macaulay che aiuta a calcolare le variazioni della duration e del prezzo di un'obbligazione per ogni variazione percentuale del rendimento a scadenza.

Elementi di base

Le duration delle obbligazioni, come la Macaulay e la modificata, svolgono un ruolo fondamentale nell'analisi obbligazionaria. La duration di Macaulay determina il tempo medio ponderato fino a quando il detentore dell'obbligazione riceve i flussi di cassa dell'obbligazione. Al contrario, la duration modificata valuta la sensibilità del prezzo di un'obbligazione alle variazioni del rendimento a scadenza.

Valutazione delle obbligazioni e analisi dei flussi di cassa

Nelle valutazioni finanziarie, la duration di Macaulay funge da metrica chiave. Per calcolarla, moltiplicare il periodo di tempo per il pagamento cedolare periodico e dividere il risultato per 1 più il rendimento periodico, elevato al tempo alla scadenza. Questo processo viene applicato iterativamente per ogni periodo e i valori vengono sommati. Il risultato viene aggiunto al numero totale dei periodi moltiplicato per il valore nominale, diviso per 1 più il rendimento periodico elevato al numero totale di periodi. Infine, l'esito viene diviso per il prezzo corrente dell'obbligazione.

dove:

• C=pagamento cedolare periodico
• y=rendimento periodico
• M=valore a scadenza dell'obbligazione
• n=duration dell'obbligazione in periodi

D'altra parte, il prezzo di un'obbligazione è determinato moltiplicando il flusso di cassa per il fattore di sconto, dove quest'ultimo si calcola come 1 diviso per (1 più il rendimento a scadenza) elevato al numero di periodi. Il valore risultante viene quindi aggiunto al valore nominale dell'obbligazione, diviso per 1 più il rendimento a scadenza elevato al numero totale di periodi.

Ad esempio, consideriamo un'obbligazione triennale con un valore a scadenza di $1.000 e un tasso cedolare semestrale del 6%. I flussi di cassa nei prossimi tre anni sono i seguenti:

• Periodo 1: $30
• Periodo 2: $30
• Periodo 3: $30
• Periodo 4: $30
• Periodo 5: $30
• Periodo 6: $1.030

Con periodi e flussi di cassa noti, calcolare i fattori di sconto per ogni periodo usando la formula 1 ÷ (1 + r)^n, dove r è il tasso d'interesse (6% capitalizzato semestralmente). I fattori di sconto sono i seguenti:

Fattore di sconto Periodo 1: 1÷(1+.03)^1 = 0.9709
Fattore di sconto Periodo 2: 1÷(1+.03)^2 = 0.9426
Fattore di sconto Periodo 3: 1÷(1+.03)^3 = 0.9151
Fattore di sconto Periodo 4: 1÷(1+.03)^4 = 0.8885
Fattore di sconto Periodo 5: 1÷(1+.03)^5 = 0.8626
Fattore di sconto Periodo 6: 1÷(1+.03)^6 = 0.8375

Successivamente, trovare il valore attuale del flusso di cassa del periodo moltiplicandolo per il numero del periodo e per il corrispondente fattore di sconto.

Periodo 1: 1×$30×0.9709 = $29.13
Periodo 2: 2×$30×0.9426 = $56.56
Periodo 3: 3×$30×0.9151 = $82.36
Periodo 4: 4×$30×0.8885 = $106.62
Periodo 5: 5×$30×0.8626 = $129.39
Periodo 6: 6×$1,030×0.8375 = $5,175.65
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​

(Si noti che poiché il tasso cedolare e il tasso di interesse sono gli stessi, l'obbligazione verrà scambiata alla pari.)

Si noti che questo calcolo della duration è di 5,58 semestri, poiché l'obbligazione paga semestralmente. Pertanto, la duration annua dell'obbligazione è di 2,79 anni, inferiore alla sua scadenza di tre anni.

Duration modificata e sensibilità del prezzo

dove:

• YTM = rendimento a scadenza
• n = Numero di periodi cedolari per anno​

In finanza, la duration modificata, una metrica aggiustata derivata dalla duration di Macaulay, tiene conto dell'impatto delle variazioni del rendimento a scadenza. La formula per la duration modificata prevede la divisione della duration di Macaulay per 1 più il rendimento a scadenza, ulteriormente diviso per il numero di periodi cedolari per anno. Questa metrica serve a quantificare le variazioni nella duration e nel prezzo di un'obbligazione in risposta a ogni variazione percentuale del rendimento a scadenza.

Ad esempio, ecco la nostra obbligazione dell'esempio precedente, che è stata calcolata avere una duration di Macaulay di 5,58 anni. La duration modificata per questa obbligazione sarebbe:

Successivamente, per determinare la variazione percentuale del prezzo dell'obbligazione per uno spostamento dei tassi d'interesse dall'8% al 9%, utilizzare la formula: variazione del rendimento moltiplicata per la duration modificata negativa moltiplicata per 100%. La variazione percentuale calcolata è -2,71%. Pertanto, un improvviso aumento dell'1% dei tassi d'interesse dovrebbe portare a un calo del 2,71% del prezzo dell'obbligazione.

Analisi della duration di uno swap sui tassi d'interesse

Estendendo l'applicazione della duration modificata, essa può essere impiegata per determinare il periodo necessario affinché uno swap sui tassi d'interesse recuperi il suo costo iniziale. Uno swap sui tassi d'interesse comporta lo scambio di un set di flussi di cassa con un altro, basato su termini di tasso d'interesse predefiniti tra le parti coinvolte.

In questo contesto, il calcolo della duration modificata comporta la divisione del valore in dollari di una variazione di un punto base in una gamba dello swap per il valore attuale della serie di flussi di cassa corrispondente. Il valore risultante viene quindi moltiplicato per 10.000. In alternativa, la duration modificata per ciascuna serie di flussi di cassa può essere ottenuta dividendo il valore in dollari di una variazione di un punto base nella serie per la somma del nozionale e dei valori di mercato. Questa frazione viene poi moltiplicata per 10.000.

Per determinare la duration modificata complessiva dello swap sui tassi d'interesse, è fondamentale calcolare la duration modificata per entrambe le gambe. La differenza tra le due duration modificate fornisce la duration modificata dell'intero swap sui tassi d'interesse. La duration modificata della gamba ricevente meno quella della gamba pagante determina la duration dello swap.

Ad esempio, consideriamo uno scenario in cui la Banca A e la Banca B stipulano uno swap sui tassi d'interesse. Supponendo che la duration modificata della gamba ricevente sia di nove anni e quella della gamba pagante sia di cinque anni, la duration modificata risultante per lo swap sui tassi d'interesse è di quattro anni (9 anni – 5 anni).

Analisi delle duration obbligazionarie

Analizzando le duration delle obbligazioni emergono differenze significative nelle loro applicazioni. La duration di Macaulay, che misura il tempo medio affinché un investitore allinei il valore attuale dei flussi di cassa di un'obbligazione con il suo costo d'acquisto, risulta fondamentale per i gestori obbligazionari che impiegano strategie di immunizzazione per controllare il rischio del portafoglio.

D'altra parte, la duration modificata delinea la sensibilità della duration di un'obbligazione alle variazioni del rendimento, offrendo indicazioni sull'impatto delle fluttuazioni dei tassi d'interesse sui prezzi delle obbligazioni. In pratica, funge da metrica di rischio per gli investitori obbligazionari, stimando i potenziali cali di prezzo in risposta all'aumento dei tassi. È cruciale riconoscere la relazione inversa tra prezzi delle obbligazioni e tassi d'interesse.

Conclusione

Comprendere le duration delle obbligazioni, sia di Macaulay che modificata, offre insight essenziali per le decisioni finanziarie. La duration di Macaulay guida i gestori di portafoglio nella gestione del rischio, indicando il tempo medio per allineare i flussi di cassa con il costo dell'obbligazione. Nel frattempo, la duration modificata funge da metrica chiave di rischio, rivelando la sensibilità di un'obbligazione alle variazioni del rendimento. Questa interazione tra duration e tassi d'interesse evidenzia i fattori sfumati che influenzano i prezzi delle obbligazioni, richiedendo una valutazione attenta nelle strategie finanziarie.