Macaulay vs. Gemodificeerde Duration

Het begrip duration en de prijsgevoeligheid van een vastrentend actief voor wijzigingen in rentetarieven kan op verschillende manieren worden benaderd. De Macaulay-duration berekent de gewogen gemiddelde looptijd tot de vervaldatum van de kasstromen van een obligatie. Deze wordt vaak gebruikt door portfoliomanagers die een immunisatiestrategie toepassen. Daarentegen is de gemodificeerde duration van een obligatie een aangepaste versie van de Macaulay-duration die helpt berekenen hoe de duration en prijs van een obligatie veranderen bij elke procentuele wijziging van de yield to maturity.

Basisprincipes

Obligatenduration, zoals Macaulay en gemodificeerde duration, speelt een centrale rol in de analyse van obligaties. De Macaulay-duration bepaalt de gewogen gemiddelde tijd totdat een obligatiehouder de kasstromen van de obligatie ontvangt. Daarentegen meet de gemodificeerde duration de prijsgevoeligheid van een obligatie bij veranderingen in het rendement tot vervaldatum.

Waardering van obligaties en kasstroomanalyse

In financiële beoordelingen dient de Macaulay-duration als een belangrijke maatstaf. Om deze te berekenen, vermenigvuldig je de periode met de periodieke couponbetaling en deel je het resultaat door 1 plus het periodieke rendement, tot de macht van de looptijd. Dit proces wordt iteratief toegepast voor elke periode en de waarden worden opgeteld. Het resultaat wordt opgeteld bij het totale aantal perioden vermenigvuldigd met de nominale waarde, gedeeld door 1 plus het periodieke rendement tot de macht van het totale aantal perioden. Ten slotte wordt de uitkomst gedeeld door de huidige obligatieprijs.

waarbij:

• C=periodieke couponbetaling
• y=periodiek rendement
• M=de aflossingswaarde van de obligatie
• n=duur van de obligatie in perioden

Aan de andere kant wordt de prijs van een obligatie bepaald door de kasstroom te vermenigvuldigen met de disconteringsfactor, waarbij laatstgenoemde wordt berekend als 1 gedeeld door (1 plus het rendement tot vervaldatum) tot de macht van het aantal perioden. De resulterende waarde wordt vervolgens opgeteld bij de nominale waarde van de obligatie, gedeeld door 1 plus het rendement tot vervaldatum tot de macht van het totale aantal perioden.

Bijvoorbeeld, beschouw een driejarige obligatie met een $1.000 aflossingswaarde en een semijaarlijke couponrente van 6%. De kasstromen over de komende drie jaar zijn als volgt:

• Periode 1: $30
• Periode 2: $30
• Periode 3: $30
• Periode 4: $30
• Periode 5: $30
• Periode 6: $1,030

Met bekende perioden en kasstromen bereken je de disconteringsfactoren voor elke periode met de formule 1 ÷ (1 + r)^n, waarbij r de rentevoet is (6% samengesteld per halfjaar). De disconteringsfactoren zijn als volgt:

Periode 1 disconteringsfactor: 1÷(1+.03)^1 = 0.9709
Periode 2 disconteringsfactor: 1÷(1+.03)^2 = 0.9426
Periode 3 disconteringsfactor: 1÷(1+.03)^3 = 0.9151
Periode 4 disconteringsfactor: 1÷(1+.03)^4 = 0.8885
Periode 5 disconteringsfactor: 1÷(1+.03)^5 = 0.8626
Periode 6 disconteringsfactor: 1÷(1+.03)^6 = 0.8375

Vervolgens bepaal je de contante waarde van de kasstroom van de periode door deze te vermenigvuldigen met het periodenum en de bijbehorende disconteringsfactor.

Periode 1: 1×$30×0.9709 = $29.13
Periode 2: 2×$30×0.9426 = $56.56
Periode 3: 3×$30×0.9151 = $82.36
Periode 4: 4×$30×0.8885 = $106.62
Periode 5: 5×$30×0.8626 = $129.39
Periode 6: 6×$1,030×0.8375 = $5,175.65
​

​

(Let op dat aangezien de couponrente en de marktrente gelijk zijn, de obligatie tegen pari zal verhandelen.)

Merk op dat deze durationberekening geldt voor 5.58 halfjaren, aangezien de obligatie halfjaarlijks uitkeert. Daarom is de jaarlijkse duration van de obligatie 2.79 jaar, minder dan de looptijd van drie jaar.

Gemodificeerde duration en prijsgevoeligheid

waarbij:

• YTM = yield to maturity (rendement tot vervaldatum)
• n = Aantal couponperiodes per jaar​

In de financiën is de gemodificeerde duration, een aangepaste maat afgeleid van de Macaulay-duration, bedoeld om de impact van uiteenlopende rendementen tot vervaldatum aan te pakken. De formule voor gemodificeerde duration houdt in dat de Macaulay-duration wordt gedeeld door 1 plus het rendement tot vervaldatum, verder gedeeld door het aantal couponperiodes per jaar. Deze maat kwantificeert de veranderingen in de duration en de prijs van een obligatie als reactie op elke procentuele wijziging in het rendement tot vervaldatum.

Bijvoorbeeld, onze obligatie uit het bovenstaande voorbeeld werd berekend met een Macaulay-duration van 5.58 jaar. De gemodificeerde duration voor deze obligatie zou zijn:

Vervolgens, om de procentuele verandering in de obligatieprijs te bepalen voor een verschuiving in de rente van 8% naar 9%, gebruik je de formule: verandering in rendement vermenigvuldigd met de negatieve gemodificeerde duration vermenigvuldigd met 100%. De berekende procentuele verandering is -2.71%. Dus, een plotselinge stijging van 1% in de rente wordt verwacht te leiden tot een daling van 2.71% in de prijs van de obligatie.

Duuranalyse van renteswaps

Als uitbreiding op de toepassing van gemodificeerde duration kan deze worden gebruikt om de tijdsduur te bepalen die een renteswap nodig heeft om de initiële kosten terug te verdienen. Een renteswap houdt in dat één reeks kasstromen wordt geruild voor een andere, gebaseerd op vooraf afgesproken rentevoorwaarden tussen de partijen.

In deze context houdt de berekening van gemodificeerde duration in dat de dollarwaarde van een wijziging van één basispunt in een swappoot wordt gedeeld door de contante waarde van de overeenkomstige kasstroomreeks. De resulterende waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000. Als alternatief kan de gemodificeerde duration voor elke kasstroomreeks worden afgeleid door de dollarwaarde van een basispuntwijziging in die reeks te delen door de som van de notionele en marktwaarden. Dit quotiënt wordt vervolgens met 10.000 vermenigvuldigd.

Om de totale gemodificeerde duration van de renteswap te bepalen, is het noodzakelijk de gemodificeerde duration voor beide poten te berekenen. Het verschil tussen de twee gemodificeerde durations geeft de gemodificeerde duration van de gehele renteswap. De gemodificeerde duration van de ontvangende poot minus die van de betalende poot bepaalt deze duration van de renteswap.

Als illustratie, stel dat bank A en bank B een renteswap aangaan. Als de gemodificeerde duration van de ontvangende poot negen jaar is en die van de betalende poot vijf jaar, is de resulterende gemodificeerde duration van de renteswap vier jaar (9 jaar – 5 jaar).

Analyse van obligatenduration

Een nadere blik op obligatendurations toont belangrijke verschillen in hun toepassingen. De Macaulay-duration, die de gemiddelde tijd aangeeft waarin een belegger de contante waarde van de kasstromen van een obligatie gelijkstelt aan de aankoopprijs, is van essentieel belang voor obligatiemanagers die immunisatiestrategieën gebruiken om portfoliorisico te beheersen.

Daarentegen beschrijft de gemodificeerde duration de gevoeligheid van de prijs van een obligatie voor veranderingen in het rendement, en biedt inzicht in de impact van renteveranderingen op obligatieprijzen. Effectief fungeert het als een risicomaatstaf voor obligatiebeleggers en schat het potentiële prijsverlies in reactie op stijgende rentetarieven. Het is cruciaal de inverse relatie tussen obligatieprijzen en rentetarieven te onderkennen.

Conclusie

Inzicht in obligatendurations, zowel Macaulay als gemodificeerd, levert essentiële inzichten voor financiële beslissingen. De Macaulay-duration helpt portfoliomanagers bij risicobeheer en geeft de gemiddelde tijd aan om kasstromen af te stemmen op de kostprijs van de obligatie. Daarentegen fungeert de gemodificeerde duration als een belangrijke risicomaatstaf en onthult het de gevoeligheid van een obligatie voor rendementsschommelingen. De wisselwerking tussen durations en rentetarieven benadrukt de genuanceerde factoren die obligatieprijzen beïnvloeden en vereist zorgvuldige afweging in financiële strategieën.