Дюрация Макаулей и модифицированная дюрация

Понимание концепции дюрации и чувствительности цены инструмента с фиксированным доходом к изменениям процентных ставок можно подходить несколькими способами. Дюрация Макаулей вычисляет взвешенное среднее время до получения денежных потоков по облигации. Она часто используется менеджерами портфелей, применяющими стратегию иммунитета. С другой стороны, модифицированная дюрация облигации — это скорректированная версия дюрации Макаулей, которая помогает рассчитать изменения дюрации и цены облигации при каждом процентном изменении доходности до погашения.

Основы

Дюрации облигаций, такие как дюрация Макаулей и модифицированная дюрация, играют ключевую роль в анализе облигаций. Дюрация Макаулей определяет взвешенное среднее время до получения инвестором денежных потоков облигации. В свою очередь, модифицированная дюрация измеряет чувствительность цены облигации к изменениям доходности до погашения.

Оценка облигаций и анализ денежных потоков

В финансовых оценках дюрация Макаулей служит важной метрикой. Для её вычисления умножьте период на периодический купонный платеж и разделите результат на 1 плюс периодическая доходность, возведённую в степень времени до погашения. Этот процесс повторяется для каждого периода, и полученные значения суммируются. К результату добавляется общее количество периодов, умноженное на номинал, разделённое на 1 плюс периодическая доходность, возведённую в степень общего числа периодов. Наконец, полученное значение делится на текущую цену облигации.

где:

• C=периодический купонный платеж
• y=периодическая доходность
• M=выплачиваемая по облигации сумма при погашении (номинал)
• n=длительность облигации в периодах

С другой стороны, цена облигации определяется умножением денежного потока на дисконтирующий множитель, который рассчитывается как 1, делённое на (1 плюс доходность до погашения), возведённое в степень числа периодов. Полученное значение затем суммируется с номиналом облигации, делённым на 1 плюс доходность до погашения в степени общего числа периодов.

Например, рассмотрим трёхлетнюю облигацию с номинальной стоимостью $1,000 и полугодовой купонной ставкой 6%. Денежные потоки за следующие три года будут следующими:

• Период 1: $30
• Период 2: $30
• Период 3: $30
• Период 4: $30
• Период 5: $30
• Период 6: $1,030

Имея известные периоды и денежные потоки, вычислите дисконтирующие множители для каждого периода по формуле 1 ÷ (1 + r)^n, где r — процентная ставка (6% с компаундированием раз в полугодие). Дисконтирующие множители будут следующими:

Дисконтирующий множитель для периода 1: 1÷(1+.03)^1 = 0.9709
Дисконтирующий множитель для периода 2: 1÷(1+.03)^2 = 0.9426
Дисконтирующий множитель для периода 3: 1÷(1+.03)^3 = 0.9151
Дисконтирующий множитель для периода 4: 1÷(1+.03)^4 = 0.8885
Дисконтирующий множитель для периода 5: 1÷(1+.03)^5 = 0.8626
Дисконтирующий множитель для периода 6: 1÷(1+.03)^6 = 0.8375

Далее найдите приведённую стоимость денежного потока периода, умножив её на номер периода и соответствующий дисконтирующий множитель.

Период 1: 1×$30×0.9709 = $29.13
Период 2: 2×$30×0.9426 = $56.56
Период 3: 3×$30×0.9151 = $82.36
Период 4: 4×$30×0.8885 = $106.62
Период 5: 5×$30×0.8626 = $129.39
Период 6: 6×$1,030×0.8375 = $5,175.65
​

​

(Обратите внимание, что поскольку купонная ставка и процентная ставка совпадают, облигация будет торговаться по номиналу.)

Заметьте, что этот расчёт дюрации соответствует 5.58 полугодиям, поскольку облигация выплачивает купоны раз в полугодие. Следовательно, годовая дюрация облигации составляет 2.79 года, что меньше её трёхлетнего срока погашения.

Модифицированная дюрация и ценовая чувствительность

где:

• YTM = доходность до погашения
• n = число купонных периодов в году​

В финансах модифицированная дюрация, являющаяся скорректированной метрикой, выведенной из дюрации Макаулей, учитывает влияние изменений доходности до погашения. Формула модифицированной дюрации включает деление дюрации Макаулей на 1 плюс доходность до погашения, дополнительно разделённую на число купонных периодов в году. Эта метрика позволяет количественно оценить изменение дюрации и цены облигации в ответ на каждое процентное изменение доходности до погашения.

Например, для приведённой выше облигации, для которой дюрация Макаулей была рассчитана как 5.58 полугодий, модифицированная дюрация этой облигации будет следующей:

Далее, чтобы определить процентное изменение цены облигации при сдвиге процентных ставок с 8% до 9%, используйте формулу: изменение доходности, умноженное на отрицательную модифицированную дюрацию, умноженное на 100%. Рассчитанное процентное изменение составляет -2.71%. Следовательно, резкое повышение процентных ставок на 1% ожидаемо приведёт к снижению цены облигации на 2.71%.

Анализ дюрации по свопам процентных ставок

Расширяя применение модифицированной дюрации, её можно использовать для определения срока, за который своп процентных ставок окупит свои первоначальные затраты. Своп процентных ставок предполагает обмен одним набором денежных потоков на другой на основе заранее определённых процентных условий между участниками.

В этом контексте расчёт модифицированной дюрации включает деление долларовой величины изменения стоимости при сдвиге на одну базисную точку для одной стороны свопа на приведённую стоимость соответствующей серии денежных потоков. Полученное значение умножается на 10 000. Альтернативно, модифицированную дюрацию для каждой серии денежных потоков можно получить, разделив долларовую величину изменения при базисной точке в серии на сумму номинала и рыночной стоимости. Эту дробь затем умножают на 10 000.

Чтобы определить общую модифицированную дюрацию свопа процентных ставок, необходимо вычислить модифицированную дюрацию для обеих сторон. Разница между двумя модифицированными дюрациями даёт модифицированную дюрацию всего свопа. Модифицированная дюрация принимающей стороны минус модифицированная дюрация платящей стороны определяют эту дюрацию свопа.

Например, представим сценарий, где Банк A и Банк B заключают своп процентных ставок. Предположим, модифицированная дюрация принимающей стороны составляет девять лет, а платящей стороны — пять лет, тогда результирующая модифицированная дюрация свопа равна четырём годам (9 лет – 5 лет).

Анализ дюраций облигаций

Анализ дюраций облигаций выявляет существенные различия в их применении. Дюрация Макаулей, измеряющая среднее время, за которое инвестор сопоставляет приведённую стоимость денежных потоков облигации с её стоимостью покупки, имеет ключевое значение для управляющих облигационными портфелями, использующих стратегии иммунитета для контроля рисков портфеля.

С другой стороны, модифицированная дюрация описывает чувствительность дюрации облигации к изменениям доходности и даёт представление о влиянии колебаний процентных ставок на цены облигаций. Фактически, она служит мерой риска для инвесторов в облигации, оценивая потенциальные падения цен в ответ на рост процентных ставок. Важно понимать обратную зависимость между ценами облигаций и процентными ставками.

Заключение

Понимание дюраций облигаций, будь то дюрация Макаулей или модифицированная дюрация, даёт важные выводы для финансовых решений. Дюрация Макаулей помогает менеджерам портфелей в управлении рисками, указывая среднее время приведения денежных потоков в соответствие со стоимостью облигации. Между тем модифицированная дюрация выступает ключевым показателем риска, раскрывая чувствительность облигации к изменениям доходности. Взаимодействие между дюрациями и процентными ставками подчёркивает нюансы, влияющие на цены облигаций, что требует внимательного учёта при формировании финансовых стратегий.